Digitale Signalverarbeitung (DSP)
von Bernd Porr
Institut für Neurophysiologie
Fakultät für Medizin
Ruhr-Universität-Bochum

Inhalt

• Inhalt
• Abbildungsverzeichnis
• Das analoge Filter
• Das digitale Filter
• Literatur

Abbildungsverzeichnis

• Demonstration der zeitdiskreten Abtastung.
• FIR-Filter
• IIR-Filter

Das analoge Filter

Ein analoges Filter kann man auf zwei verschiedene Art und Weise beschreiben. Dabei betrachtet man den Filter als ,,black-box``. Das Eingangssignal wird hier immer mit x(t) und das Ausgangssignal mit y(t) bezeichnet. Die erste Möglichkeit der Beschreibung ist die Stoßantwort. Das Filter erhält als Eingangssignal einen Deltapuls, welcher zu einer mehr oder weniger komplexen Antwort am Ausgang führt. In dieser Antwort stecken alle nötigen Informationen, um das Filter zu beschreiben¹:

$$\hbox{Eingang: }\;x(t)\! \delta(t)$$ = (1)

$$\hbox{Ausgang: }\;y(t)\!$$ = h(t) (2)

Eleganter ist die Beschreibung eines Filters im Frequenzraum. Da h(t) alle Informationen des Filter beinhaltet, liegt es nahe diese Stoß-Antwort in den Frequenz-Raum mit Hilfe der Fouriertransformation zu übersetzen.

$$H(i\omega)=\int_0^\infty h(t) e^{-i\omega t} dt$$ (3)

Der Betrag $\vert H(i\omega)\vert$ der Transformierten ist der Amplituden-Gang (oder einfach Frequenzgang) und das Argument

$$\phi(\omega)= \arctan{{\mathrm{Im}(H(i\omega))}\over {\mathrm{Re}(H(i\omega))}}=\mathrm{arg}(H(i\omega))$$ (4)

ist das Phasenverhalten des Filters, welche die Verzögerungszeit - bezogen auf eine Frequenz - liefert. Will man die absolute Zeitverzögerung bestimmen, so muß man die Phase nach der Frequenz differenzieren.

$$t_g={d\phi(\omega)\over d\omega}$$ (5)

In der Praxis ergibt sich das Problem, daß das Fourierintegral sehr schlecht konvergiert und daß man zur Beschreibung des Filters komplexe Größen erhält, die zwar sehr gut das Frequenzverhalten aber sehr schlecht einen Schaltungsaufbau oder Algorithmus wiederspiegeln.

Das Fourierintegral läßt sich aber verallgemeinern. Bis jetzt ist das Argument der Fouriertransformierten rein imaginär (oder reell, je nach Sichtweise). Es ist nun ein kleiner Gedankenschritt, das Argument beliebig komplex werden zu lassen. Die Transformierte sieht dann zwar fast genauso aus,

$$H(s)=\int_0^\infty h(t) e^{-s t} dt$$ (6)

aber das Argument der Funktion ist nun die komplexe Variable s². Diese Transformation nennt sich Laplacetransformation und die transformierte Impulsantwort heißt Übertragungsfunktion. Im Vergleich zu der Fouriertransformation steht jetzt die ganze komplexe Ebene zur Beschreibung des Filters zur Verfügung, welche sehr viel redundante Information beinhaltet. Es stellt sich aber heraus, daß zur Beschreibung eines Filters nur wenige Positionen in der komplexen Ebene von Bedeutung sind und zwar reichen die Pol- und die Nullstellen völlig aus. Der Rest der komplexen Ebene kann beliebig gewählt werden. Ein weiterer Vorteil ist das Konvergenzverhalten, welches durch den reellen Anteil von s wesentlich verbessert wird. Der Nachteil dieser Transformation liegt bei der Rücktransformation, welche sehr oft Probleme bereitet. Hier sollte man auf jeden Fall auf Tabellen zurückgreifen.

Bis jetzt wurde nur das Filterverhalten beschrieben. Offen geblieben ist die Beschreibung der Signale und die Verschaltung von Filtern. Dies soll hier nachgeholt werden. Wenn zwei Filter parallel geschaltet werden, dann ist dies im Zeitbereich einfach die Summe der Filterantworten [MILDENBERGER 1992]. Die Laplacetransformierten werden auf Grund der Linearität dann auch addiert. Wenn aber zwei Filter in Reihe geschaltet werden, dann ist dies im Zeitbereich eine Faltung der Impulsantworten h₁(t)*h₂(t), welche durch die Laplacetransformation zu einer Multiplikation wird: H₁(s)H₂(s). Beliebige Verschaltungen von Filtern werden somit einfach durch Multiplikationen und Additionen der Übertragungsfunktionen beschrieben.

Wie sieht es nun mit den zu filternden Signalen selbst aus? Hier ist es ganz ähnlich. Diese werden mit der Impulsantwort des Filters gefaltet. Es liegt nun auf der Hand, die Laplacetransformation auch auf die Signale anzuwenden, um auch dort eine einfache Multiplikation anwenden zu können. Wenn ein Filter das Signal x(t) erhält und dahinter y(t) gemessen wird, dann ist das Ausgangssignal im Zeitbereich

y(t)=h(t)*x(t) (7)

und nach der Laplacetransformation eine einfache Multiplikation:

Y(s)=H(s) X(s) (8)

Hier sollte man sich klar machen, was mit periodischen Signalen bei einer Laplacetransformation passiert. Solch ein Signal kann man immer mit der (komplexen) Exponentialfunktion beschreiben:

 

$$e^{i\omega}$$ h(t) = (9)

$${1\over{s-i\omega}}$$ H(s) = (10)

Die Schwingung $\omega$ taucht auf der rechten Seite von Gleichung einePolstelle als Polstelle des Bruches wieder auf. Es genügt demnach, die Polstellen zu identifizieren und kann dann auf die Frequenzen der Funktion h(t) zurückschließen.

Wie bereits oben erwähnt, ist die Darstellung der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion H(s) völlig ausreichend, um das Filter vollständig zu beschreiben [MILDENBERGER 1992]. Es gibt diverse Tabellenbücher in denen sehr viele Filter bereits als Pol- Nullstellendiagramme tabelliert sind.

Jede gebrochen rationale Übertragungsfunktion läßt sich in ein Pol-/Nullstellendiagramm umwandeln. Das ist einfach eine direkte Konsequenz des Fundamentalsatzes der Algebra, welcher besagt, daß man jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren zerlegen kann. Zusätzlich gibt es bei der Übertragungsfunktion noch die Nebenbedingung, daß die Zeitfunktion rein reell sein muß, was dazu führt, daß die Polstellen immer paarweise komplex konjugiert zueinander auftreten³. Dies legt jetzt noch eine weitere Umformung nahe. Die Rücktransformation ist in der Regel sehr schwer durchführbar, so daß es sich anbietet, das Produkt von Linearfaktoren in eine Summe umzuformen. Im Nenner steht dann jeweils eine Polstelle und im Zähler eine zugehörige Konstante, die aus den Nullstellen gebildet wird.

$$H(s)= \left( {a_1 \over (s-s_{\infty,1})} + {a_1^*\over (s-s... ...\infty,2})} + {a_2^*\over (s-s_{\infty,2}^*)} \right) + \cdots$$ (11)

 Dieses Verfahren nennt man Partialbruchzerlegung und wird weiter unten noch einmal nützlich sein, denn die Impulsantwort jedes dieser Summanden ist ja bekannt. Die ist nämlich eine gedämpfte Sinusschwingung bzw. eine komplexe Exponentialfunktion, die man in einschlägigen Tabellenbüchern nachschlagen kann. Für jeden Summanden von FormelPartialbruch gibt es also einen bekannten und einfachen Zusammenhang zwischen Zeitbereich und komplexen Laplaceraum.

Das Pol- und Nullstellendiagramm verrät auch sehr viel über die Stabilität eines Filters. Transformiert man die Summe H_in_Partialbruch mit Hilfe der Relation wieder zurück in den Zeitbereich, so erhält man die besagte Summe von Exponentialfunktionen.

$$h(t)= \left( a_1 e^{s_{\infty,1}} + a_1^* e^{s_{\infty,1}^*} ... ...2 e^{s_{\infty,2}} + a_2^* e^{s_{\infty,2}^*} \right) + \cdots$$ (12)

Hier sieht man jetzt, daß die Stabilität nur von der Lage der Polstellen abhängt. Deren Realteile müssen alle negativ sein, damit die e-Funktionen für $t\to\infty$gegen Null streben.

Da die Pole jeweils komplex zueinander konjugiert sind, ist die Zeitfunktion - wie schon oben erläutert - rein reell:

$$e^{xt} \left[ 2a \cos yt - 2b \sin yt \right]$$ = (13)

Der Vorfaktor (a+ib) sorgt für die Phase der Schwingung, der Exponent mit seinem Imaginärteil für die Frequenz und der Realteil für die Hüllkurve (Abklingzeit). Hier sieht man wieder, daß der Realteil negativ sein muß, damit das System stabil bleibt.

   
Das digitale Filter

Bis jetzt waren alle Signale kontinuierlich. Ausgangspunkt ist das analoge Filter, welches das Signal x(t) erhält und dann y(t) ausgibt. Das Ziel ist ein Filter, welches ein zeitdiskretes Signal erhält und solch eines auch wieder am Ausgang liefert [BEST 1987].

Der erste Schritt ist die Digitalisierung des Eingangssignals. Hier ist nicht entscheidend, daß die Spannung mittels A/D-Wandler in ihrer Genauigkeit eingeschränke Werte umgesetzt wird, sondern daß das Signal nur zu genau definierten Zeitpunkten, welche den Abstand T besitzen, gültig ist. Das Signal wird somit zeitdiskret. Vor das eigentliche Filter wird nun ein sogenannter Abtaster⁴ geschaltet. Dies ist einfach ein Schalter, der für eine infinitesimale Zeit eingeschaltet wird und zwar immer in gleichen Zeitabständen. Mathematisch wird dieser durch eine Deltafunktion beschrieben, multipliziert mit einem konstanten Faktor, welcher die Fläche der Eingangsfunktion zwischen dem letzten und dem aktuellen Schaltzeitpunkt enthält. Will man das Originalsignal zurückgewinnen, dann muß man nur über jeweils einen Zeitschritt integrieren und erhält das Originalsignal zurück. Denn die Integration eines Deltapulses ergibt genau 1. Am Ausgang benötigt man also einen Integrator, der genau jeweils einen Deltapuls integriert. Das kann aber mit einem Tiefpaß realisiert werden, der gerade die Abtastfrequenz nicht mehr hindurchläßt. Dieser wirkt dann als Integrator, so daß sich an dessen Ausgang das ursprüngliche analoge Signale wieder herstellt. Dieses Ausgangssignal unterschiedet sich also nicht vom Eingangssignal.

Mathematisch sieht das dann so aus: Das analoge Eingangssignal h(t)ist hier der Einfachheit halber eine reine Sinusschwingung,

$$h(t)=\sin(\omega t)$$ (14)

welche mit der Deltafunktion multipliziert wird.

$${\widehat{h}}(t)=\left(\sin\omega t\right) \cdot \left(\delta(t \bmod T) \right)$$ (15)

Dies ist das Eingangssignal des Filters. Diese Funktion wird nun Laplacetransformiert und dann geschickt umgeformt:

$${\widehat{H}}(s) \int_0^\infty (\sin\omega t)\cdot \delta(t \bmod T)\cdot e^{-st} {\mathrm{dt}}$$ = (16)

$$\sum_{n=0}^\infty e^{-snT} \underbrace{\sin \omega n T}_{{1\over 2j}(e^{j\omega n T} - e^{-j\omega n T} )}$$ = (17)

$${1\over 2j}\sum_{n=0}^\infty {\left(e^{j\omega T-sT}\right)}^n - {1\over 2j}\sum_{n=0}^\infty {\left(e^{-j\omega T-sT}\right)}^n$$ = (18)

$${1\over 2j}\left({1\over 1-e^{j\omega T - sT}} - {1\over 1-e^{-j\omega T - sT}} \right)$$ = (19)

Der Trick mit der geometrischen Reihe ist der Trick der digitalen Signalverarbeitung schlechthin.

  

Abbildung: Demonstration der zeitdiskreten Abtastung.

Man sieht hier jetzt folgenden Effekt (siehe Abbildung 1). Das Sinussignal liegt (in diesem Beispiel mit der Frequenz von f=0.08 und T=1)⁵ immer noch an. Zusätzlich existieren durch die Abtastung noch weitere Frequenzen, die nicht gewünscht sind. Aus diesem Grunde werden sie ,,alias``-Frequenzen genannt. Das ist aber gar nicht unbedingt ein Problem, daß diese existieren, da sie - zumindest in diesem Beispiel - vom Nutzsignal trennbar sind. Dies ist natürlich nur möglich, wenn die Aliasfrequenzen möglichst hoch im Vergleich zum Nutzsignal sind und das Nutzsignal in tieferen Frequenzbereichen liegt. Wenn aber die Frequenz der Sinusschwingung SinusSampler erhöht wird, dann verschiebt sich die erste Aliasfrequenz zu tieferen Werten hin, so daß sich diese bei einer Frequenz von f=0.5 mit dem Originalsignal zusammenfällt. Erhöht man die Frequenz des Originalsignals weiter, dann gibt es eine Frequenz, an der der Sampler an seinem Ausgang nur noch Gleichspannung liefert, obwohl am Eingang eine zeitabhängige Schwingung anliegt. Das ist der Fall, wenn die Abtastfrequenz des Samplers identisch mit der Frequenz des Eingangssignals ist. Es existiert also eine Grenzfrequenz des Eingangssignals. Wird diese Grenze nicht überschritten, dann kann das ursprüngliche Signal wieder rekonstruiert werden. Darüber nicht mehr. Bei der halben Abtastfrequenz treffen sich gerade Alias- und Nutzfrequenz. Das ist die Frequenzgrenze, also die maximale Nutzfrequenz, sie wird Nyquistfrequenz genannt. Anschaulich gesehen tastet hier der Sampler immer gerade ein Maximum und ein Minimum der Sinusfunktion ab [JUNGE 1978].

Anders formuliert könnte man sagen, daß die Eingangsfrequenzen nicht mehr eindeutig sind. Nach dem Schalter kann man nicht mehr entscheiden, ob es sich zum Beispiel um ein Gleichspannungssignal oder um ein Signal mit exakt der Abtastfrequenz handelt. Deshalb führt man eine neue Frequenzvariable ein, die dies berücksichtigt. Ein gesampeltes Signal

$${\widehat{x}}(t)=T \sum_{n=0}^\infty x(nT) \delta(t-nT)$$ (20)

wird mit Hilfe der Laplacetransformation in die s-Ebene transformiert:

$${\widehat{X}}(s)=T\sum_{n=0}^\infty x(nT) {\underbrace{{\left(e^{-sT}\right)}}_ {z^{-1}}}^n$$ (21)

Dies ist nun der Moment, an dem eine neue Variable eingeführt werden sollte, die z-Variable. Das ist einfach eine Abkürzung für den Ausdruck $\exp(-sT)$, welcher durch seine Periodizität auf der komplexen Achse genau die oben geschilderte Vieldeutigkeit repräsentiert. die komplexe Variable s wird also im Ausdruck $\exp(-sT)$ vollständig absorbiert, so daß z zu der neuen unabhängigen Variable wird:

$$X(z)=T \sum_{n=0}^\infty x(nT) {(z^{-1})}^n$$ (22)

Diese Gleichung nennt man auch die z-Transformation. Sie ist die Laplacetransformation für den zeitdiskreten Raum⁶. Der Faktor z^-1 kann aber auch anders interpretiert werden. Wenn man sich den Schritt von Zeitfunktion zu sFunktion noch einmal ansieht, dann entspricht der Faktor z^-1einer Zeitverschiebung von einem Takt im Zeitbereich -- oder von mehreren Takten, wenn man höhere Potenzen von z^-1hinzunimmt.

$$\delta(t-nT) \to z^{-n}$$ (23)

Hier ergibt sich ein erster Ansatz für eine Realisierung eines Digitalfilters. Auf Grund der Zeitdiskretheit ist die Übertragungsfunktion nur zu den Zeitpunkten nT gültig, so daß sie äquivalent zu der Eingangsfunktion in der komplexen Ebene so aussieht:

$${\widehat{H}}(z)=T\sum_{n=0}^\infty h(nT) z^{-n}$$ (24)

Die Übertragungsfunktion wirkt auf die Eingangsfunktion X(z).

$${\widehat{H}}(z){\widehat{X}}(z)=T\sum_{n=0}^\infty h(nT) z^{-n} X(z)$$ (25)

Diese Summe ist eine direkte Anweisung, wie man ein Digitalfilter aufbauen muß. Das Eingangssignal x(t) muß durch eine Verzögerungskette geschickt werden und dann gewichtet aufsummiert werden. Die Koeffizienten des Filters sind die Werte der Impulsantwort des analogen Filters zu den Zeitpunkten nT. Da man in der Praxis die Summe abbrechen lassen muß, hat dieses Filter eine endliche Impulsantwort und wird deshalb ,,finite impulse response`` (FIR)-Filter genannt.

  

Abbildung: FIR-Filter

Von größtem Interesse ist ein Spezialfall: die Laplacetransformation der Exponentialfunktion, da diese in der s-Ebene sehr einfach beschrieben werden kann. Außerdem läßt sich jede Übertragungsfunktion als Partialbruchzerlegung schreiben, was bereits unter Partialbruchzerlegung erwähnt wurde. Jeder dieser Summanden ist ein Bruch, welcher im Zeitbereich eine Exponentialfunktion repräsentiert. Auf Grund der Linearität ist es ausreichend, einen Bruch beziehungsweise eine Exponentialfunktion zu besprechen. Diese definieren wir im Zeitbereich mit der komplexen Konstante b.

$$h(t)=a \exp(-bt)$$ (26)

Die Laplacetransformierte von ExpoFunktion ist ein einfacher Bruch.

$$H(s)=a \left({1\over s+b}\right)$$ (27)

Ein Pol in der s-Ebene bei der Koordinate -b erzeugt also im Zeitbereich eine Exponentialfunktion mit der komplexen Frequenz -b. Nun wird diese Funktion im Zeitbereich abgetastet und damit digitalisiert.

$${\widehat{h}}(t)=aT\sum_{n=0}^\infty \exp(-bnT) \cdot \delta(t-nT)$$ (28)

Die Laplacetransformation läßt nun wieder den Faktor $\exp(-sT)=:z^{-1}$ erscheinen, so daß die Transformierte - dank der Exponentialfunktion - sehr übersichtlich wird.

$${\widehat{H}}(s) aT\sum_{n=0}^\infty \exp(-bnT) \exp(-nsT)$$ = (29)

$$aT\sum_{n=0}^\infty \exp(-bnT)z^{-n}$$ H(z) = (30)

$$aT\underbrace{\sum_{n=0}^\infty {\left(\exp(-bT)z^{-1}\right)}^n}_ {\textrm{\tiny geometrische Reihe}}$$ = (31)

$$aT{1\over 1-\exp(-bT)z^{-1}}$$ = (32)

Der Pol von der s-Ebene bei -b ist nun zu einem Pol in der z-Ebene bei exp(-bT) geworden. Allgemein kann man daraus eine Übersetzungsregel ableiten.

$$z_\infty:=\exp(s_\infty T)$$ (33)

Wenn die Partialbruchzerlegung der analogen Übertragungsfunktion vorliegt, dann muß man einfach nur die Polstellen nach Uebersetzung_Polstellen übersetzen und erhält sofort die digitale Übertragungsfunktion.

Wie erhält man aber jetzt aus dieser Entwicklung eine Schaltung oder ein Computerprogramm? Dazu betrachtet man den ganzen Signalfluß: Signal - Filter - Signal. Das Eingangssignal und das Ausgangssignal werden nun auch mit Hilfe des Verfahrens bei Zeitfunktion und sFunktion in die z-Ebene transformiert, so daß die Filterung als Produkt geschrieben werden kann.

 

Y(z) = X(z)H(z) (34)

$$aT X(z) {1\over 1-\exp(-bT)z^{-1}}$$ = (35)

$$Y(z)z^{-1}\exp(-bT)+aTX(z)$$ = (36)

Man beachte nun Gleichung Verg. Das z^-1 wirkt als Operator, der im Zeitbereich den Wert aus dem vorhergehenden Zeitschritt ,,hervorholt``.

$${\widehat{y}}(nT)={\widehat{y}}([n-1]T) \exp(-bT) + {\widehat{x}}(nT)aT$$ (37)

Hier steht jetzt eine ganz einfache Schaltungsanweisung. Der Ausgang des Filters wird durch den Eingang und den um einen Zeitschritt verzögerten Ausgang gebildet. Diese Filter werden auf Grund der unendlich langen Impulsantwort ,,infinite impulse response`` (IIR)-Filter genannt.

  

Abbildung: IIR-Filter

Nun verallgemeinern wir das oben beschriebene auf beliebige Übertragungsfunktionen. Dazu benötigen wir den Verschiebungssatz der z-Transformation, der sich direkt aus der Laplactransformation ableiten läßt.

$${\mathrm{\bf Z\!T}(h_{n-k})}=z^{-k}H(z)$$ (38)

Wie gesagt: Wenn man einen Wert k Taktzyklen aus der Vergangenheit holt, so bedeutet das im komplexen z-Raum eine Multiplikation mit z^-k und umgekehrt. Wenn man die Übertragungsfunktion so umformt, daß sie nur noch aus Potenzen mit negativen Exponenten besteht, so repräsentieren diese direkt Verzögerungsketten.

Ausgangspunkt der allgemeinen Beschreibung digitaler Filter ist eine Differenzengleichung der Form,

$$0=\sum_{i=0}^r L_i x_{n-i} - \sum_{i=0}^m K_i y_{n-i}$$ (39)

welche ganz allgemein verzögerte Ausgangssignale und Eingangssignale miteinander verknüpft. Definieren wir einfach, die zeitdiskrete Variable x_j die die Eingangsdaten enthält und zwar x_n den aktuellen Wert, x_n-1 den Wert, der vor einem Taktzyklus angelegen hat, x_n-2 den vor zwei Zyklen und so weiter⁷. Die y_j, die Werte aus der Vergangenheit darstellen, kann man mit Hilfe des obigen Verschiebungssatzes sehr elegant vereinfachen, wenn man darauf die z-Transformation anwendet. Das ergibt dann nämlich:

$$X(z){\sum_{i=0}^r L_i z{-i} \over \sum_{i=1}^m K_i z^{-i}}$$ Y(z) = (40)

= X(z)H(z) (41)

Die Vorgehensweise ist demnach sehr einfach: Die Übertragungsfunktion muß nur auf eine Form mit negativen Exponenten gebracht werden und schon hat man das Filter realisiert.

Oben wurde bereits erwähnt, daß es in der Praxis am besten ist, wenn man das Filter in ,,Elementarfilter`` aufspaltet. Ein solches Filter beherbergt jeweils nur ein Polstellen- und ein Nullstellenpärchen. Solch ein Elementarfilter kann man mit zwei Verzögerungsgliedern aufbauen. Die Übertragungsfunktion kann dann mit diesen Pärchen entwickelt werden, hier der Übersichtlichkeit wegen in der s-Ebene:

$$K {(s-s_{0,1})(s-s_{0,1})^*(s-s_{0,2})(s-s_{0,2})^*\cdots \over (s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,1})^*(s-s_{\infty,2})(s-s_{\infty,2})^*\cdots}$$ H(s) = (42)

$$K \underbrace{{(s-s_{0,1})(s-s_{0,1})^*\over (s-s_{\infty,1})(s-s... ...s_{0,2})(s-s_{0,2})^*\over (s-s_{\infty,2})(s-s_{\infty,2})^*}}_{H_2(s)} \cdots$$ = (43)

$$K H_1(s) H_2(s) \cdots$$ = (44)

Diese Elementarfilter müssen jetzt noch auf die richtige Form gebracht werden. Das heißt in diesem Falle, daß alle Potenzen negativ werden müssen. Dabei kann man zwei Strategien verfolgen: entweder man formt den ganzen Term in negative Potenzen von s (oder z) um oder man macht das nur für die Pärchen ( $H_1(s), H_2(s), \dots$). Der Vorteil der zweiten Methode ist, daß man nur einmal umformen muß und dann immer die gleiche Hardware verwenden kann (mehrfaches Filtern mit den ,,Elementarfiltern``). Die erste Methode hat den Vorteil, daß das Ergebnis auf jeden Fall in ,,Echtzeit`` berechnet wird. Dafür ist die ,,Schaltung`` dann für jeden Filter eine andere.

Dieses Pol- und Nullstellenpärchen der s-Ebene muß nun in die z-Ebene transformiert werden. Das sieht dann bei solch einem Pärchen so aus:

$$H(z)=K{(z-e^0)\over (z-e^{s_\infty})(z-e^{s_\infty^*})}$$ (45)

Um nun daraus eine Schaltung oder ein Programm entwickeln zu können, müssen durch geschickte Klammerungstechnik alle Potenzen von z negativ werden.

$$K{(z-1)\over z^2\bigl(1-z^{-1}(e^{s_\infty}+e^{s_\infty^*})+ z^{-2} (e^{s_\infty+s_\infty^*})\bigr) }$$ H(z) = (46)

$$K{z^{-2}(z-1)\over 1-z^{-1}(e^{s_\infty}+e^{s_\infty^*})+ z^{-2} (e^{s_\infty+s_\infty^*}) }$$ = (47)

$$K{z^{-1}-z^{-2}\over 1-z^{-1}(e^{s_\infty}+e^{s_\infty^*})+ z^{-2} (e^{s_\infty+s_\infty^*}) }$$ = (48)

Nun stellt sich noch die Frage, wie man die Konstante Kwählen muß. Bei den Digitalfiltern ist die Antwort einfach: Sie ist durch den Ansatz schon festgelegt, da bei der Differenzengleichung y_n den Vorfaktor 1 erhält.

Zusammenfassend kann man sagen, daß sich der Entwickler für eine der zwei möglichen Filterkonzepte entscheiden muß. Wählt er IIR-Filter, so ist der Rechen- oder Schaltungsaufwand gering aber er handelt sich eventuell Stabilitätsprobleme ein. Entscheidet er sich für FIR-Filter, so sind diese immer stabil und lassen sich auch immer mit konstanter Verzögerungszeit realisieren (näheres im nächsten Kapitel). Der Aufwand ist aber gerade in einem Computerprogramm sehr groß.

Trotz der markanten Vorteile rekursiver Filter [IIR] dominieren in der digitalen Bildverarbeitung wegen der geschilderten Schwierigkeiten noch die nichtrekursiven [JÄHNE 1993, S.122] [FIR].

Literatur

BEST 1987

BEST, ROLAND (1987).
Handbuch der analogen und digitalen Filtertechnik.
AT-Verlag, Stuttgart.
Sehr gut verständliche Einführung.

JÄHNE 1993

JÄHNE, BERND (1993).
Digitale Bildverarbeitung.
Springer, Berlin.
Das Buch der digitalen Filterung, Bildverarbeitung.

JUNGE 1978

JUNGE, HANS DIETER, . (1978).
Lexikon der Elektronik.
Physik Verlag, Weinheim.

MILDENBERGER 1992

MILDENBERGER, OTTO (1992).
Entwurf analoger und digitaler Filter.
Braunschweig, Wiesbaden.

Anwendung findet diese Theorie bei der Rekonstruktion von 3D-Informationen, was man hier nachlesen kann.

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The translation was initiated by Bernd Porr on 1999-05-25